यदि I_1 = intlimits_0^1 {{e^{ - x}}} {cos ^2} | vedclass

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Question

(D) $x \in (0, 1)$ के लिए,हमारे पास $x^3  -x^2 > -x$ प्राप्त होता है। चूंकि चरघातांकी फलन $f(t) = e^t$

Vedclass · Accepted Answer

$I_3 > I_2 > I_1$

Vedclass · Answer

(D) $x \in (0, 1)$ के लिए,हमारे पास $x^3 $-1$ से गुणा करने पर,हमें $-x^3 > -x^2 > -x$ प्राप्त होता है। चूंकि चरघातांकी फलन $f(t) = e^t$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $e^{-x^3} > e^{-x^2} > e^{-x}$ होता है। अब,समाकल्यों (integrands) पर विचार करें: $I_3$ के लिए,समाकल्य $f_3(x) = e^{-x^3}$ है। $I_2$ के लिए,समाकल्य $f_2(x) = e^{-x^2} \cos^2 x$ है। चूंकि $0 \le \cos^2 x \le 1$,इसलिए $e^{-x^2} \cos^2 x \le e^{-x^2}$ होता है। $I_1$ के लिए,समाकल्य $f_1(x) = e^{-x} \cos^2 x$ है। चूंकि $0 \le \cos^2 x \le 1$,इसलिए $e^{-x} \cos^2 x \le e^{-x}$ होता है। $(0, 1)$ अंतराल पर फलनों की तुलना करने पर: $e^{-x^3} > e^{-x^2} \ge e^{-x^2} \cos^2 x$ इंगित करता है कि $I_3 > I_2$ है। साथ ही,$e^{-x^2} > e^{-x}$ होने के कारण $e^{-x^2} \cos^2 x > e^{-x} \cos^2 x$ होता है। अतः,$I_3 > I_2 > I_1$ प्राप्त होता है।

यदि $I_1 = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}} {\cos ^2}x\,dx$,$I_2 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$ और $I_3 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}} dx$ है; तो

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$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=$

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

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